Kapazität eines Winkelkondensators (mit Rechenweg / Herleitung)

Moin moin,

es war die Frage aufgekommen, wie groß die Ladung Q eines auf die Spannung U aufgeladenen Winkelkondensators - und damit seine Kapazität C - ist.

Wie sieht ein Winkelkondensator aus?
Ein Winkelkondensator ist ein ganz gewöhnlicher Plattenkondensator, bis auf den Unterschied, dass die Platten in einem bestimmten Winkel α zueinander angeordnet sind, wodurch die Homogenität des E-Feldes verloren geht.
Die folgenden Berechnungen zeigen, dass die Äquipotentiallinien des E-Feldes Kreisabschnitten entsprechen (zwischen den Platten) und dass sich das Potential linear zum Winkel θ verhält.


Welche Auswirkungen das auf die Kapazität C hat, könnt ihr im Folgenden nachvollziehen:
(Alternativ: Download als PDF):

 

Das Ganze bringt mich jetzt zwar persönlich nicht wirklich weiter, aber dennoch ganz interessant, dass man mit einigen mathematischen Hilfsmitteln solche Probleme angehen kann (wie ich finde) und vielleicht auch eine nette Übung für zwischendurch.

(apropos Übung: ich hatte bisher keine Möglichkeit das Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen. Daher ist nicht ganz auszuschließen, dass sich evtl. doch ein kleiner (Denk-)Fehler eingeschlichen hat - wäre daher cool, wenn sich jemand möglichst unabhängig von meinem Lösungsansatz mit der Aufgabe auseinandersetzen würde. :-) ).

Bei Fragen oder Kritik nutzt die Kommentarfunktion.


Viele Grüße
cospyanther

UPDATE: Abischnitt 2014 Niedersachsen

Die doppelte Gewichtung des P3 Faches ab dem Jahr 2014 erforderte ein kleines Update meines Abirechners von 2011.
 

Download (v1.0.0): Abischnitt 2014.exe (455KB)

MD5: a98335340e47d5e2bcee7a3a1b99dd16

Kurzbeschreibung:

Wie der Name schon sagt, kann damit auf einfache Art und Weise der zu erwartende Abiturdurchschnitt bestimmt werden.

Anmerkungen:

(i) Nach wie vor sollte bedacht werden, dass das Tool lediglich die reine Berechnung der Gesamtpunktzahl/Abidurchschnittsnote, sowie die Speicherung der Einzelnoten übernimmt, d.h. ob alle Kriterien für einen erfolgreichen Abschluss erfüllt sind, bleibt zunächst unberücksichtigt.

(ii) Und noch ein wichtiger Hinweis:

"Treten bei der Berechnung der Ergebnisse nach der Berechnungsformeln in Block 1 Bruchteile auf, so wird nach dem üblichen mathematischen Verfahren gerundet." (AVO-GOBAK, Anlage 2)

=> Die Formulierung vom Land ist an dieser Stelle einfach nicht 100%ig wasserdicht und lässt einen gewissen Freiraum in der Umsetzung zu!

 
Unter dem "üblichen" Verfahren verstehe ich Folgendes und habe es entsprechend implementiert:
Kleiner als ,5: abrunden.Größer gleich ,5: aufrunden.

(iii) Und zuletzt:
Selbstverständlich gilt wie immer: alle errechneten Ergebnisse sind ohne Gewähr.

Bei Fragen und Problemen immer melden!

Und nun viel Erfolg fürs Abi! :-)

 

(ein Beispiel)

Ausgewählte Grundfunktionen des CASIO FX-991DE PLUS für die Mittelstufe - Eine Checkliste für den erfolgreichen Einstieg

Hallo!

Heute möchte ich euch eine Übersicht über die am häufigsten gebrauchten und nützlichsten Funktionen des CASIO FX-991DE Plus bereitstellen. Es handelt sich also um keine Anleitung, wie man sie kennt, sondern eine Checkliste, die dazu da sein soll, Lücken in euren Basic-Kenntnissen zu füllen, die manchmal selbst nach langer Nutzung des Taschenrechners noch da sein können.

 

Da ich dies auch bei mir selber nicht ausschließe, meldet euch bitte unbedingt, wenn ihr noch eine Sache kennt, die hilfreich ist, damit ich sie in die Liste aufnehmen kann!

Spezielle Funktionen zu Themen wie Stochastik, Differential- und Integralrechnung, Matrizenrechnung oder komplexen Zahlen habe ich daher bewusst außen vor gelassen, da sie bei Bedarf einfach nachgeschlagen werden können.

Vielleicht ganz kurz am Rande: Ich konnte bisher noch keine Funktion finden, um den Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl zu bilden, um z.B. damit weiterrechnen zu können. Gibts das einfach nicht oder wie sieht das aus?

Zum Download der Checkliste hier klicken

(es wird außerdem noch eine kleine Aufgabensammlung folgen,

mit der ihr eure ~Fähigkeiten~ in der Praxis testen können werdet ;-) )

Vorschau der Checkliste

Weitere Dokumente:

Bedienungsanleitung FX-991DE Plus (hier steht so gut wie alles drin, um jeden Punkt erfolgreich abhaken zu können. Falls ihr mit einem Punkt Probleme habt, hinterlasst einen Kommentar.)

 

Kurzanleitung zur Bedienung des CASIO FX-991ES (auch eine gute Anleitung, die etwas spezieller auf die Grundfunktionen ausgerichtet ist. Zwar für das Vorgängermodell, dadurch aber genauso zutreffend für den DE PLUS)

Bewertung:

Ich selbst benutze den CASIO FX-991 DE Plus jetzt seit einem Jahr und bin im Großen und Ganzen wirklich sehr zufrieden! Die ein oder andere Kleinigkeit stört mich halt doch noch. ;-) Dennoch kann ich eine klare Kaufempfehlung aussprechen, da es einfach nichts vergleichbares in dieser Taschenrechnerklasse gibt, mal ganz abgesehen von dem unschlagbaren Preis-/Leistungsverhältnis!

Bei Fragen meldet euch!

Viel Spaß,

cosypanther

 

 

Penney-Ante: Ein kleines Simulationsprogramm

Durch Zufall bin ich vor einigen Tagen auf einen Videovortrag von Anoushirvan Dehghani mit dem Titel "Absurde Mathematik [24c3] - Paradoxa wider die mathematische Intuition" gestoßen, indem unter anderem das intransitive Paradoxon Penny-Ante** vorgestellt wurde.

So richtig vorstellen, dass die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen mit diesem Vorgehen tatsächlich steigen würde, konnte ich mir trotz Erklärung und Skizze nicht so richtig.

...und ich kann, denke ich, zweifelslos behaupten, dass es den meisten Menschen ähnlich geht. (was in der Statistik bekanntlich keine Seltenheit ist) Intuition und Statistik, hin oder her: Es gibt aussagekräftige mathematische Beweise, die das Ergebnis bestätigen, und das sogar für größere Alphabete.

Die wichtigsten Links zum Thema auf einen Blick:

Erläuterungen:

"Absurde Mathematik [24c3] - Paradoxa wider die mathematische Intuition" (der Videovortrag von Anoushirvan Dehghani)

"Absurde Mathematik" (das Papier zum Vortrag von Anoushirvan Dehghani)

(Datei in xxxx.PDF umbennen)

"Winning Odds" (ein Artikel von Yutaka Nishiyama and Steve Humble)
"Penney-Ante" (eine Forumsdiskussion mit guten Beispielen fürs Verständnis)

Mathematik:

"Optimal Penney Ante Strategy via Correlation Polynomial Identities" (Daniel Felix)

"First-past-the-post Games" (Roland Backhouse)

Um mich jedoch selbst richtig von dem Ergebnis zu überzeugen, musste ich es selbst ausprobieren.

Alternativ hätte ich mir auch einen der Beweise ansehen können, was mich jedoch weniger reizte. (für Mathematikinteressierte gibt es unter den Verlinkungen oben ausführliche Informationen zum Spiel und der Strategie)

Daher kommt an dieser Stelle nun zusätzlich zu den oben genannten ein Beitrag von mir zu diesem doch sehr interessanten Thema. Zwar ein kleinerer, allerdings meiner Meinung nach ebenfalls sehr wichtig:

Ein kleines Programm (C++), welches mehrere Spiele nacheinander simulieren kann und als Resultat die Gewinnverteilung der beiden Spieler liefert. Und zwar sowohl mit der Penney-Ante Methode, als auch ohne (siehe Erläuterungen). Somit ergibt sich für eine sehr große Anzahl von Spielen ein Ergebnis mit sehr geringer Irrtumswahrscheinlichkeit.

Welches? Probierts aus! ;-)

Screenshot: Penney-Ante Simulation v1.01

Download:

Penney-Ante Simulation v1.01.zip  (203.8kB)

(Quellcode auf Pastebin)

Ein paar Hinweise noch zum Programm:

Variablen:

NUMBER OF COINS: So viele Münzen enthält die von beiden Spielern gewählte Kombination

NUMBER OF GAMES: So viele Spiele werden durchgeührt (ohne Penney-Ante / mit Penny-Ante**)

Beachtet:
NUMBER OF COINS ≥ 3, (besser ≥4 wählen, Erläuterung in Beitrag #44 der Forumsdiskussion)
NUMBER_OF_GAMES  ⋙ 1

Fragen, Optimierungsvorschläge zum Programm, Hinweise zu Bugs, Anregungen etc., darüber würde ich mich sehr freuen!

Viel Spaß und schöne Grüße

cosypanther

**Damit es zu keinen Verwechslungen kommt:

   mit Penney-Ante bezeichne im gesamten obigen Text ich die in den Erläuterungen vorgestellte

   Methode, nicht das Spiel.

[HowTo] Original Abiturklausuren finden

UPDATE: Inzwischen scheinen so gut wie alle aus dem Netz genommen worden zu sein.
Schade. 

Um mal eine Vorstellung vom Aufbau einer Abiturklausur aus Niedersachsen zu bekommen,
könnt ihr mit ganz einfachen Mitteln Originalklausuren aus den Vorjahren im Internet finden.

Dabei hilft euch Google:

Für Aufgaben gebt ihr folgende Suchbegriffe ein:
+"schülermaterial" +"mathematik" +filetype:pdf

Für Lösungen:
+"lehrermaterial" +"mathematik" +filetype:pdf

Um andere Fächer zu finden, ersetzt ihr einfach +"Mathematik" (z.B. durch +"Physik").


Gruß,
cosypanther

Abischnitt 2011 Niedersachsen

Dieses kleine Programm rechnet euch eure Abidurchschnittsnote aus, ohne dabei die Verordnungen zu berücksichtigen, die für das Bestehen des Abis zu erfüllen sind. Grundlage für die Bestimmung der Durchschnittsnote ist die Tabelle in Anlage 2 a auf Seite 86 des Dokuments "Lesefassung AVO-GOFAK und EB-AVO-GOFAK für Abitur 2011 [PDF, 387 KB]", sowie Seite 87
(siehe http://www.mk.niedersachsen.de/download/5689).

 

Screenshot:
 

(Beispiel)

 

Download (v1.0.2): Abischnitt 2011.exe (184KB)
MD5:  7f3d6840f2901ad657df8238486f4171


Bei Fragen oder Problemen bitte melden!

Koordinaten eines regelmäßigen Fünfecks

In Abhängigkeit von der Seitenlänge a


a sei die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks ABCDE, dessen  Umkreis den Mittelpunkt M(0|0) hat.
Dann gilt für die Koordinaten der Eckpunkte:


A [ 0 | a·√(10·√5 + 50)/10 ]
B [ - a·(√5/4 + 1/4) | a·√(50 - 10·√5)/20 ]
C [ - a/2 | - a·√(10·√5 + 25)/10 ]
D [ a/2 | - a·√(10·√5 + 25)/10 ]
E [ a·(√5/4 + 1/4) | a·√(50 - 10·√5)/20 ]


In Abhängigkeit vom Umkreisradius r
M sei der Mittelpunkt des Umkreises eines regelmäßigen Fünfecks und zugleich der
Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems.
Dann gilt für die Koordinaten der Eckpunkte:

A [ 0 | r ]
B [ - r·√(2·√5 + 10)/4 | r·(√5/4 - 1/4) ]
C [ - r·√(10 - 2·√5)/4 | - r·(√5/4 + 1/4) ]
D [ r·√(10 - 2·√5)/4 | - r·(√5/4 + 1/4) ]
E [ r·√(2·√5 + 10)/4 | r·(√5/4 - 1/4) ]




Die mathematische Beziehung zwischen a und r lautet:


a = r·√(10 - 2·√5)/2


bzw.


r = a·√(10·√5 + 50)/10


Schritte zum Berechnen der allgemeinen Koordinaten

Man stelle sich einen Kreis mit dem Radius r und dem dem Mittelpunkt M(0|0) in einem Koordinatensystem vor.
Dieser Kreis sei der Umkreis eines regelmäßigen Fünfecks ABCDE sein.


Folglich ist bekannt:
- jeder Eckpunkt hat vom Ursprung den Abstand r
- der Schnittwinkel der Strecken 0Pn 0Pm beträgt 360°/5 = 72°


(1) Nun legt man den Punkt A so fest, dass er über dem Ursprung liegt: A(0|r)
(2) Punkt B liegt immer im positiven Wertebereich und hat den Abstand r vom Ursprung.
Über das Steigungsdreieck können mit Hilfe des Sinus und des Kosinus XB und YB berechnet werden:
Der Winkel zwischen der Geraden 0B und der x-Achse beträgt 90°-72° = 18° (s.o.). r stellt die Hypotenuse dar. Somit erhält man |XB| = r·cos(18°) =  r·√(2·√5 + 10)/4 und |YB| = r·sin(18°) = r·(√5/4 - 1/4).
B liegt links von M(0|0), somit ist XB negativ.
(3) Die y-Achse stellt eine Symmetrieachse dar. Also gelten für E die Koordinaten E(-XB|YB).
(4) Das gleiche Vorgehen wie bei Punkt B und E wird nun für C und D angewendet:
Der Winkel zwischen der Geraden 0C beträgt 72°-18° = 54°. Also ist  |XC| = r·cos(54°) =  r·√(10 - 2·√5)/4 und |YB| = r·sin(54°) = r·(√5/4 + 1/4). C liegt links der y-Achse und ist damit negativ.
(5)  Analog zu (3) liegt Punkt D bei D(-XC|YC).


(Mit diesem Vorgehen kann man die Eckpunktkoordinaten von jedem beliebigen n-Eck bestimmen.) 


Berechnung der Abhängigkeit von a und r
(1) Die Strecke BE wird von der y-Achse geteilt. Die Länge x der rechten bzw. linken Hälfte lässt sich über zwei verschiedene Gleichungen beschreiben:
(I) x = a·sin(54°), da die y-Achse den Winkel α halbiert ( α = 180°*(5-2)/5 = 540°/5 = 108° )
(II) x = r·sin(72°), siehe Schnittwinkel
(2) Gleichsetzen führt zu dem Ergebnis
a =  r·sin(72°)/sin(54°) = r·√(10 - 2·√5)/2
r = a·sin(54°)/sin(72°) = a·√(10·√5 + 50)/10

Dieses kleine Programm zeichnet euch einen Kreis mit eurer Bildschirmhöhe als Durchmesser.

Ausgehend vom Mittelpunkt werden die Punkte gezeichnet und miteinander verbunden.

Code:

procedure TForm1.FormKeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);
  var A,B,C,D,E,F: TPoint;
      r,x,y: integer;
begin

 (...)

  //Der Radius r hat den halben Wert der Bildschirmhöhe
    r:=round(Screen.Height/2);


  //Da der Nullpunkt beim Bildschirm oben links in der Ecke liegt, muss die Hälfte der Bildschirmbreite zum x-Wert und die Hälfte der Bilschirmhöhe zum y-Wert addiert werden.
    x:=round(Screen.Width/2);
    y:=round(Screen.Height/2);


  //Farbe für Umkreis festlegen
    Form1.Canvas.Pen.Color:=clblue;   //Linien
    Form1.Canvas.Brush.Color:=clblack;//Füllung


  //Kreis in der Bildschirmmitte zeichnen
    Form1.Canvas.Ellipse(round((Screen.Width-Screen.Height)/2),0,round((Screen.Width-Screen.Height)/2+Screen.Height),Screen.Height);


//Koordinaten der Eckpunkte berechnen
    A:=Point(x,y-r);
    B:=Point(x+round(-r*sqrt(2*sqrt(5)+10)/4),y-round(r*(sqrt(5)/4-1/4)));
    C:=Point(x+round(-r*sqrt(10-2*sqrt(5))/4),y+round(r*(sqrt(5)/4+1/4)));
    D:=Point(x+round(+r*sqrt(10-2*sqrt(5))/4),y+round(r*(sqrt(5)/4+1/4)));
    E:=Point(x+round(+r*sqrt(2*sqrt(5)+10)/4),y-round(r*(sqrt(5)/4-1/4)));


//Farbe für Fünfeck festlegen
    Form1.Canvas.Pen.Color:=cllime;  //Linien
    Form1.Canvas.Brush.Color:=cllime;//Füllung


//Fünfeck zeichnen
    Form1.Canvas.Polygon([A,B,C,D,E]);


(...)

end;

Die Ausgabe bestätigt das Ergebnis auf anschauliche Weise. Sie sollte in etwa so aussehen:

(wer zweifelt, kann die Seiten gerne nachmessen ;) )

 

Hoffe, das hilft dem ein oder anderen.

Den Rechenweg poste ich nur, wenn jemand Interesse daran hat.

Bei Fragen nutzt bitte die Kommentarfunktion!

Viele Grüße,

cosypanther

tags: regelmäßiges Fünfeck Koordinaten kartesisches Koordinatensystem berechnen Eckpunkte bestimmen Gleichung Formel