Schnittfläche zweier Kreise, prozentualer Anteil und "Die grasende Ziege"

Neulich habe ich einmal eine kleine nette Aufgabe gefunden.
Sie ist im Internet unter dem Begriff "Die grasende Ziege" zu finden.

Wer selbst nicht weiterkommt beim Lösen, für den stelle ich hier mal meinen
kommentierten Rechenweg vor. Bei Fragen gilt wie immer: Kommentarfunktion nutzen! (Auch wenn das bisher noch nie jemand getan hat. Seid ein Vorbild! ;-) )

Außerdem hatte mich interessiert, wie sich sich die Schnittfläche zweier identischer, voreinanderher laufender (Geschwindigkeit v) Kreise prozentual zur Gesamtfläche eines Kreises verhält. (vgl. Sonnenfinsternis). Dazu sind ein paar Überlegungen von mir ausgeführt worden.


Hier ist einmal qualitativ der anteilige Flächeninhalt in Abhängigkeit von a (bzw. der Zeit t (Anm.: wegen a=v*t, v=konst. gilt: a ~ t)) aufgetragen. r ist für den Plot zu 1 gewählt:

Abb. 1: Anteilig bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der "Überschnittbreite" a (Def.: s.u.) bzw. t (qualitativer Verlauf für Radius r1=r2=1) - WolframAlpha-Link

Währenddessen ist nachfolgend der qualitative Verlauf der Änderungsrate der prozentual bedeckten Kreisfläche aufgetragen:

Abb. 2: Änderungsrate der bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der "Überschnittbreite" a (Def.: s.u.) bzw. t (qualitativer Verlauf; unabhängig von r) - WolframAlpha-Link

Man erkennt leicht, dass die sich überdeckende Fläche bis kurz zur Gesamtüberdeckung wächst und die Wachstumsrate bis kurz zuvor monoton wächst, also ihr Absolutmbetrag a=2*r=2 maximal wird.
Dieses Ergebnis ist plausibel und war zu erwarten. :)


Hinweis: Die Aufgabe wird erst im Anschluss an ein paar andere Überlegungen meinerseits vorgestellt. Also scrollt direkt runter, falls ihr nur am "Ziegenproblem" interessiert seid.

 

Download des Derive-logs:

pdf-Format (Adobe Reader),

dfw-Format (Derive wird benötigt),

png-Datei (Bild)

[ Nachtrag: ]

Definition "Überschnittbreite": Mit der "Überschnittbreite" a bezeichne ich in den obigen Ausführungen die längstmögliche Horizontalstrecke im Überdeckungsbereich der beiden Kreis, wenn sich diese in x-Richtung übeinander bewegen. Siehe nachfolgende Skizze:

Abb 3. Erläuterung des Begriffs "Überschnittbreite" - WolframAlpha-Link