Beispiel: Lösung eines Integrals über eine Schlüssellochkurve

Moin moin zusammen!

Die letzten Tage hatte ich viel mit der Funktionentheorie (Teilgebiet der Mathematik) zu tun und war erstaunt, dass zu dem Begriff der Schlüssellochkontur bzw. Schlüssellochkurve sehr sehr wenige Informationen im Internet verfügbar sind. Zumindest gilt dies für Seiten, die im direkten Bezug zur Mathematik stehen.

Abb.1: Google-Suche nach den Begriffen Schlüssellochkontur und Schlüssellochkurve am 13.08.2013 - Link zur Suche

Daher dachte ich mir, stelle ich mal einen konkreten Lösungweg vor, wie man ein Integral (in diesem Fall mit ungeradem Integranden und den Grenzen 0 und ∞) auf diese interessante Weise lösen kann.


Nämlich über eine Konturkurve in der komplexen Zahlenebene, deren Aussehen eben gerade einem Schlüsseloch ähnelt. :-) Viel Spaß!

Für Fragen oder Anmerkungen zur nutzt bitte die Kommentarfunktion am Ende des Beitrags.

 

Alternativ: Download der Rechnung als PDF-File

 WolframAlpha liefert dies leider nicht mit einfachen Mitteln, daher bleibt nur übrig die numerisch ermittelten Ergebnisse abzugleichen: Dazu hier klicken und a durch beliebige Zahlen zwischen 0 und 1 ersetzen.

Cholesky-Zerlegung: A=LDL^T mit MATLAB berechnen

Anbei ein kleiner Link zu einem Matlab-m-File, das die Cholesky-Zerlegung für eine positiv definite, symmetrische (s.p.d.) Matrix durchführt: http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/47-ldlt?download=true

Nach Einfügen des m-Files "ldlt.m" in den Arbeitsbereich (standardmäßig links des Matlab-Command-Windows), kann mittels folgenden Aufrufs eine LDL^T-Zerlegung nach dem hier angegebenen Algorithmus (Folie 57) durchgeführt werden:

BEISPIEL:

>> A=[4 6 2;6 10 8;2 8 30]

A =

     4     6     2
     6    10     8
     2     8    30

>> [L,D]=ldlt(A)

L =

    1.0000         0            0
    1.5000    1.0000         0
    0.5000    5.0000    1.0000


D =

     4     0     0
     0     1     0
     0     0     4

Sehr praktisch um von Hand berechnete Ergebnisse zu überprüfen!


Alternativ gibt es auch hier ein matlab-Skript, das eine LL^T-ZERLGUNG durchführt (KEINE LDL^T-ZERLEGUNG!)
http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.070/ss13/AngewandteNumerik1/cholesky.m
Ebenfalls sind dort viele weitere interessante Algorithmen aus NuMa als fertig implemenitierte Matlab-Files verfügbar: Siehe Screenshot.

Viel Erfolg beim Üben!

Schnittfläche zweier Kreise, prozentualer Anteil und "Die grasende Ziege"

Neulich habe ich einmal eine kleine nette Aufgabe gefunden.
Sie ist im Internet unter dem Begriff "Die grasende Ziege" zu finden.

Wer selbst nicht weiterkommt beim Lösen, für den stelle ich hier mal meinen
kommentierten Rechenweg vor. Bei Fragen gilt wie immer: Kommentarfunktion nutzen! (Auch wenn das bisher noch nie jemand getan hat. Seid ein Vorbild! ;-) )

Außerdem hatte mich interessiert, wie sich sich die Schnittfläche zweier identischer, voreinanderher laufender (Geschwindigkeit v) Kreise prozentual zur Gesamtfläche eines Kreises verhält. (vgl. Sonnenfinsternis). Dazu sind ein paar Überlegungen von mir ausgeführt worden.


Hier ist einmal qualitativ der anteilige Flächeninhalt in Abhängigkeit von a (bzw. der Zeit t (Anm.: wegen a=v*t, v=konst. gilt: a ~ t)) aufgetragen. r ist für den Plot zu 1 gewählt:

Abb. 1: Anteilig bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der "Überschnittbreite" a (Def.: s.u.) bzw. t (qualitativer Verlauf für Radius r1=r2=1) - WolframAlpha-Link

Währenddessen ist nachfolgend der qualitative Verlauf der Änderungsrate der prozentual bedeckten Kreisfläche aufgetragen:

Abb. 2: Änderungsrate der bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der "Überschnittbreite" a (Def.: s.u.) bzw. t (qualitativer Verlauf; unabhängig von r) - WolframAlpha-Link

Man erkennt leicht, dass die sich überdeckende Fläche bis kurz zur Gesamtüberdeckung wächst und die Wachstumsrate bis kurz zuvor monoton wächst, also ihr Absolutmbetrag a=2*r=2 maximal wird.
Dieses Ergebnis ist plausibel und war zu erwarten. :)


Hinweis: Die Aufgabe wird erst im Anschluss an ein paar andere Überlegungen meinerseits vorgestellt. Also scrollt direkt runter, falls ihr nur am "Ziegenproblem" interessiert seid.

 

Download des Derive-logs:

pdf-Format (Adobe Reader),

dfw-Format (Derive wird benötigt),

png-Datei (Bild)

[ Nachtrag: ]

Definition "Überschnittbreite": Mit der "Überschnittbreite" a bezeichne ich in den obigen Ausführungen die längstmögliche Horizontalstrecke im Überdeckungsbereich der beiden Kreis, wenn sich diese in x-Richtung übeinander bewegen. Siehe nachfolgende Skizze:

Abb 3. Erläuterung des Begriffs "Überschnittbreite" - WolframAlpha-Link

Feldüberhöhung an Spitzen, Ecken und Kanten

Hallo,

das Phänomen der Überhöhung der elektrischen Feldstärke an spitzen Stellen eines Körpers
ist sicherlich bekannt.

Im Folgenden habe ich einmal, um diesen Effekt quantitativ nachvollziehen zu können, beispielhaft das E-Feld einer quadratischen Flächenladung mit der Seitenlänge 2d berechnet.

Es zeigt sich, dass tatsächlich für den Aufpunkt A=(a,b) mit (a,b)-->(+-d,+-d) gilt, dass |E(a,b)| --> ∞.
Sehr interessant, wie ich finde.

Der Einfachheit und Überrsichtlichkeit halber habe ich das Lösen der Integrale Derive überlassen.


Hier gibts den Rechenweg (kommentiert):

• PDF-Datei (.pdf): Download im .pdf-Format

Wer Spaß am Nachrechnen oder selbst ausprobieren hat:

• Derive-Datei (.dfw): Download im .dfw-Format 

HINWEIS: Das Ergebnis ist ohne Gewähr. Ich habe diesmal leider keine Möglichkeit gehabt, das Ergebnis unabhängig auf Richtigkeit zu überprüfen! Also bei Fehlern weist mich bitte unbedingt daraufhin!